Gli oracoli Verace, Mendace e Imprevedibile

L'indovinello più difficile del mondo è l'appellativo coniato da George Boolos su La Repubblica nel 1992 per il seguente indovinello di logica ispirato da

Boolos fornisce inoltre le seguenti precisazioni:

Storia

Boolos attribuisce a Raymond Smullyan la creazione dell'indovinello e a John McCarthy l'ulteriore difficoltà rappresentata dai termini sconosciuti 'da' e 'ja'. Indovinelli simili possono essere trovati in altre opere di Smullyan. In What is the Name of This Book? (pp. 149-156), ad esempio, egli descrive un'isola Haitiana dove la metà degli abitanti sono zombie (mentono sempre) e metà sono umani (dicono sempre la verità) e spiega che

Ci sono indovinelli simili in The Riddle of Sheherazade (in particolare alla p. 114).

Più in generale, questo puzzle fa parte della classe di indovinelli logici, inventata dallo stesso Smullyan, nota come Cavalieri e furfanti (ad es. su un'isola immaginaria, tutti gli abitanti sono cavalieri, che dicono sempre la verità, o furfanti, che mentono sempre. L'indovinello porta colui che visita l'isola a porre un certo numero di domande a risposta sì/no per scoprire ciò che ha bisogno di sapere). Una versione di questi indovinelli fu resa popolare da una scena del film fantasy Labyrinth - Dove tutto è possibile. Ci sono due porte con due guardiani. Un guardiano mente, l'altro no. Una porta conduce al castello, l'altra alla morte certa. Lo scopo dell'indovinello è cercare quale conduce al castello facendo una sola domanda a uno dei guardiani. Nel film Sarah chiederà: "L'altra guardia mi direbbe quale porta conduce al castello?".

La soluzione

Boolos ha fornito una soluzione nello stesso articolo in cui pose l'indovinello. Egli disse che "la prima mossa è trovare un dio che si possa essere certi non sia Casuale, non ha importanza se sia Vero o Falso. Ci sono varie domande con cui si può giungere a questo risultato. Una strategia è quella di usare connessioni logiche complicate nelle domande (ad esempio le bicondizionali o costruzioni equivalenti).

Boolos chiese:

• 'da' significa 'sì' se e solo se tu sei Vero e se e solo se B è Casuale?

È equivalente a:

• È vero un numero casuale delle affermazioni: tu sei Falso, 'ja' significa 'sì', B è Casuale?

Roberts nel 2001 e Rabern and Rabern nel 2008 hanno osservato che la soluzione del puzzle può essere semplificata usando certi condizionali irreali. La chiave di questa soluzione è che per ogni domanda Q del tipo sì/no, si ponga, indifferentemente a Vero o Falso, la domanda P:

• Se ti chiedessi Q, mi diresti 'ja'?

Il risultato è 'ja': se l'effettiva risposta a Q è 'sì';
Il risultato è 'da': se l'effettiva risposta a Q è 'no'.
Si può giungere alla ragione per cui ciò funziona guardando i seguenti otto casi.

• Si supponga che 'ja' significhi 'sì' e 'da' significhi 'no'.

(I) Si pone la domanda P a Vero e si ottiene come risposta 'ja'. Dal momento che egli dice la verità, la reale risposta a Q è 'ja', che significa 'sì'.
(II) Si pone la domanda P a Vero e si ottiene come risposta 'da'. Dato che dice la verità, la reale risposta a Q è 'da', che significa 'no'.
(III) Si pone la domanda P a Falso e si riceve come risposta 'ja'. Egli mente, ciò significa che se gli venisse posta la domanda Q risponderebbe 'da', mentendo; perciò la risposta effettiva alla domanda Q è 'ja', che significa 'sì'.
(IV) Si pone la domanda P a Falso e si riceve come risposta 'da'. Egli mente, ne consegue che se gli fosse posta la domanda Q risponderebbe 'ja', mentendo; quindi la risposta effettiva alla domanda Q è 'da', che significa 'sì'.
 

• Si supponga che 'ja' significhi 'no' e 'da' significhi 'sì'.

(V) Si chiede P a Vero e risponde 'ja'. Dato che dice la verità, la risposta reale a Q è 'da', che significa 'sì'. (VI) Si chiede P a Vero ed egli risponde 'da'. Siccome dice la verità, la risposta corretta a Q è 'ja', che significa 'no. (VII) Si chiede P a Falso e la risposta è 'ja'. Dal momento che mente, se gli fosse posta Q risponderebbe 'ja', mentendo; quindi la risposta corretta a Q è 'da', che significa 'sì'. (VIII) Si chiede P a Falso e risponde 'da'. Siccome sta mentendo, se gli venisse posta Q risponderebbe 'da', mentendo; quindi la risposta corretta a Q è 'ja', che significa 'no'.

Usando queste informazioni, si può procedere come segue.

• Si chieda al dio B, "Se ti chiedessi 'A è Casuale?', diresti 'ja'?". Se B risponde 'ja', allora B è Casuale (e sta rispondendo casualmente), oppure B non è Casuale e la risposta indica che A è effettivamente Casuale. In ogni caso, C non è Casuale. Se B risponde 'da', allora B è Casuale (e sta rispondendo casualmente), oppure B non è Casuale e la risposta indica che A non è Casuale. In ogni caso, A non è Casuale.

• Si vada dal dio che si è stabilito non essere Casuale grazie alla risposta precedente (quindi A oppure C), e gli si chieda: "Se ti chiedessi 'Sei Vero?', diresti 'ja'?". Siccome non è Casuale, la risposta 'ja' indica che è Vero e la risposta 'da' indica che è Falso.

• Si ponga allo stesso dio la domanda: "Se ti chiedessi 'B è Casuale?', diresti ja'?". Se la risposta è 'ja' allora B è Casuale, se la risposta è 'da' allora il dio a cui non si ha ancora parlato è Casuale. Il dio rimasto si può identificare per esclusione.

Il comportamento di Casuale

La maggior parte dei lettori dell'indovinello suppongono che il casuale fornirà completamente a caso le risposte a qualunque domanda; ma l'indovinello non lo dice. Infatti, la terza affermazione chiarificante di Boolos ribadisce fortemente questo:

• Se Casuale dica o no la verità è come se dipendesse dal lancio di una moneta nascosta nel suo cervello: se esce testa, dice la verità; se esce croce, mente.

Questo significa che Casuale casualmente agisce come bugiardo o verace, e non che risponde casualmente.

Un piccolo cambiamento alla domanda sopra fa sorgere una domanda che otterrà sempre una risposta significativa dal casuale. Il cambiamento è quello che segue:

Se ti chiedessi Q nel tuo attuale stato mentale, risponderesti 'ja'?

Abbiamo così separato le due personalità di Casuale, quella verace e quella bugiarda, e abbiamo costretto il dio ad essere una sola di queste. Questo banalizza completamente l'indovinello, in quanto ora possiamo avere la risposta vera ad ogni domanda.

• 1. Si chieda al dio A, "Se ti chiedessi 'Sei Casuale?' nel tuo corrente stato mentale, diresti 'ja'?"

Se A risponde 'ja', allora A è Casuale.

• 2a. Si chieda al dio B, "Se ti chiedessi 'Sei Vero?', diresti 'ja'?"

Se B risponde 'ja', allora B è Vero e C è Falso.

Se B risponde 'da', allora B è Falso e C è Vero. In entrambi i casi, l'indovinello è risolto.

Se A risponde 'da', allora A non è Casuale:

• 2b. Si chieda al dio A, "Se ti chiedessi 'Sei Vero?', diresti 'ja'?"

Se A risponde 'ja', allora A è Vero.

Se A risponde 'da', allora A è Falso.

• 3. Si chieda al dio A, "Se ti chiedessi 'B è il casuale?', diresti 'ja'?"

Se A risponde 'ja', allora B è Casuale, e C è il contrario di A.

Se A risponde 'da', allora C è Casuale, è B è il contrario di A.

Possiamo modificare l'indovinello di Boolos in modo tale che Casuale sia effettivamente casuale, rimpiazzando la terza affermazione chiarificante di Boolos con la seguente:

Se Casuale dica 'ja' o 'da' è come se dipendesse dal lancio di una moneta nascosta nel suo cervello: se esce testa, dice 'ja'; se esce croce, 'da'.

Con questa modifica, la soluzione dell'indovinello richiede la più attenta interrogazione data alla fine della sezione "la soluzione".

Domande a cui non si può rispondere e teste di dei che esplodono

In A Simple Solution to the Hardest Logic Puzzle Ever l’indovinello è svolto facendo notare che non è il caso in cui 'ja' e 'da' sono le uniche risposte che un dio può dare.È anche possibile che un dio non sia capace di rispondere. Ad esempio, se la domanda "Risponderai a questa domanda con la parola che significa "no" nella tua lingua?" viene posta a Vero, egli non può rispondere sinceramente. (Il giornale lo rappresenta mostrando la sua testa che esplode, "...sono dei infallibili! Hanno solo una possibilità a cui ricorrere – le loro teste esplodono") Permettere il caso delle teste che esplodono dà un'altra soluzione all'indovinello modificato (modificato in modo che Casuale sia effettivamente casuale) e introduce la possibilità di risolvere l’indovinello originale (non modificato) con sole due domande invece che con tre. Supportando una soluzione di due sole domande, gli autori risolvono un simile indovinello più semplice utilizzando soltanto due domande.

• Tre dei A, B e C sono chiamati, in un certo ordine, Zefiro, Euro ed Eolo. Gli dei dicono sempre la verità. Il tuo compito è determinare l'identità di A, B e C ponendo tre domande del tipo sì/no; ogni domanda essere posta esattamente a un dio. Gli dei capiscono l’Inglese e risponderanno in Inglese.

Si noti che questo indovinello si risolve con tre domande. Per risolverlo con due, si prova il seguente lemma.

Lemma del bugiardo temperato. Se si chiede ad A "È questo il caso in cui {[(risponderai 'no' a questa domanda) E (B è Zefiro)] O (B è Euro) }?", la risposta 'sì' indica che B è Euro, la risposta 'no' indica che B è Eolo, e una testa che esplode indica che B è Zefiro. Da qui si può determinare l'identità di B con una sola domanda.

Usando questo lemma è semplice risolvere l'indovinello in due domande. Un trucco simile (il paradosso del bugiardo) si può utilizzare per risolvere l'indovinello originale con due domande.